Titulaire de l’équivalent d’un Master en affaires internationales obtenu à l’Institut en 1995 et d’un Master en économie internationale et en management de l’Université Bocconi à Milan, Félix Baumann, est entré en 2001 au Département fédéral des affaires étrangères.
En 2003, Félix Baumann est affecté en tant que collaborateur diplomatique au centre de politique de sécurité internationale du DFAE à Berne puis transféré comme premier secrétaire à Moscou, responsable de la politique étrangère, de la culture et des intérêts étrangers en 2007. Trois ans plus tard, il est promu au rang de conseiller d’ambassade. De retour à Berne en 2011, il est nommé chef de l’état-major de la Direction des ressources (DR).
Félix Baumann exerce depuis janvier 2016 la fonction de Chef de poste à Milan. Il vient d’être nommé chef de la Division multilatérale, suppléant du représentant permanent de la Suisse auprès de l’Office des Nations Unies et des autres organisations internationales à Genève, représentant permanent de la Suisse auprès de la conférence du désarmement et envoyé spécial de la Suisse au sein du Conseil des droits de l’homme à Genève. Le Conseil fédéral lui a conféré le titre d’ambassadeur pour l’exercice de cette fonction.